zu „Didaktik der Mathematik”

Das LUPI - Spiel | The LUPI - Game

(LUPI - Lowest Unique Positive Integer)

Aktuell: LUPI - Ergebnisse der Spielrunde der GDM-Tagung 2024 in Essen

► Gibt es hier

Informationen zu LUPI | Facts on LUPI

Das LUPI-Spiel ist ein Spiel mit folgenden Regeln:

  • Alle Teilnehmenden wählen jeweils geheim eine natürliche Zahl von 1 bis n.
  • Es gewinnt die Person, deren Zahl nur 1x gewählt wurde und die dabei die kleinste ist.
  • Gibt es keine kleinste alleinige Zahl, gewinnt niemand.

Durch diese Spielregeln befindet sich das LUPI-Spiel in einem sowohl für die Fachmathematik als auch die Mathematikdidaktik interessanten Spannungsfeld zwischen Strategie und Zufall.

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The rules of the LUPI game are:

  • –Within a group, m persons individually and secretly choose a number between 1 and n.
  • –The winner is the one whose number is the smallest not chosen by anyone else. The winning number is called "LUPI number“.
  • If there is no unique smallest number, nobody wins.

Due to these rules, the LUPI game is located in a field of interest between strategy and chance for both mathematics as a subject and mathematics didactics.

Aus spieltheoretischer Sicht fällt das LUPI-Spiel in die Kategorie der statischen Spiele (vgl. Riechmann 2013, S. 21, S. 36ff.), bei denen die beteiligten Spielenden ihre Entscheidung gleichzeitig ohne Kenntnis der anderen Entscheidungen treffen und es daher auch als Spiel mit imperfekter Information bezeichnet wird. Es gibt ähnliche Spielvarianten – z. B. Schwedisches Lottospiel „Limbo“ (vgl. Östling et al. 2011), 2/3-Zahlenwahlspiel (vgl. Selten & Nagel 1998) – die ihrerseits in verschiedenen Wissenschaftsdisziplinen in den letzten Jahren theoretisch und experimentell untersucht wurden (vgl. für einen Überblick mit Verweis auf weitere Quellen Yamada & Hanaki 2016, S. 2–4). Für detaillierte mathematische Untersuchungen unter anderem zum Auffinden des spieltheoretisch wichtigen Nash-Gleichgewichts sei hier etwa auf Baek & Bernhardsson (2010) verwiesen, Ausführungen zu einer experimentellen Versuchsreihe von 50 Spielrunden mit 3–4 Personen und der Zahlenauswahl von 1–3 bzw. 1–4 siehe Yamada & Hanaki (2016). 

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From a game theory perspective, the LUPI game belongs to the category of static games (cf. Riechmann 2013, p. 21, p. 36ff.), in which the players involved make their decisions simultaneously without knowledge of the other decisions and is therefore also referred to as a game with imperfect information. There are similar game variants - e.g. the Swedish lottery game "Limbo" (cf. Östling et al. 2011), 2/3 number selection game (cf. Selten & Nagel 1998) - which have been theoretically and experimentally investigated in various scientific disciplines in recent years (cf. for an overview with reference to further sources Yamada & Hanaki 2016, pp. 2-4). For detailed mathematical studies, including on finding the Nash equilibrium, which is important in game theory, see Baek & Bernhardsson (2010); for explanations on an experimental series of 50 rounds of games with 3-4 people and the number selection of 1-3 or 1-4, see Yamada & Hanaki (2016).

 

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  • Baek, S. K. & Bernhardsson, S. (2010). Equilibrium solution to the lowest unique positive integer game. Fluctuation and Noise Letters, Vol. 09, No. 01 (S. 61–68).
  • Östling, R., J. T.-Y. Want, E. Y. Chou, C. F. Camerer (2011). Testing Game Theory in the Field: Swedish LUPI Lottery Games. American Economics Journal, Microeconomics 3, August 2011 (S. 1–33).
  • Riechmann, T. (2013). Spieltheorie. Vahlen.
  • Selten, R. & Nagel, R. (1998). Das Zahlenwahlspiel –Ergebnisse und Hintergrund. Spektrum der Wissenschaft, February 1998 (S. 16–22).
  • Yamada, T. & Hanaki, N. (2016). An Experiment on Lowest Unique Integer Games. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 463/2016 (S. 88–102).

 

Further recommended references on Lowest Unique Integer Games (LUPI, LUIG), Lowest Unique Bidding Auctions (LUBA) & Minority Games related to game theory (will be continuously updated):

  • Challet, D. & Zhang, Y.-C.  (1997). Emergence of cooperation and organization in an evolutionary game. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, vol. 246, issue 3, pp. 407-418.
  • Challet, D. & Zhang, Y.-C. (1998). On the minority game: Analytical and numerical studies. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, vol. 256, issue 3, pp. 514-532 .
  • Bottazzi, G. & Devetag, M.G. (2003). Expectations Structure in Asset Pricing Experiments. LEM Papers Series 2003/19, Laboratory of Economics and Management (LEM), Sant'Anna School of Advanced Studies, Pisa, Italy.
  • Bottazzi, G. & Devetag , M.G. (2003). A laboratory experiment on the minority game. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, Elsevier, vol. 324(1), pp. 124-132.
  • Chmura, T. & Pitz, T. (2006). Successful strategies in repeated minority games. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, vol. 363, issue 2, pp. 477-480 .
  • Devetag, G., Pancotto, F. & Brenner, T. (2011). The Minority Game Unpacked: Coordination and Competition in a Team-Based Experiment. Quaderni DSE Working Paper No. 770.
  • Linde, J, Sonnemans, J. & Tuinstra, J. (2014). Strategies and evolution in the minority game: A multi-round strategy experiment. Games and Economic Behavior, vol. 86, pp. 77-95.
  • Rapoport, A.; Otsubo, H.; Kim, B. & Stein, W. E. (2007). Unique Bid Auctions: Equilibrium Solutions and Experimental Evidence. SSRN Electronic Journal, 01/2007.
  • Houba, H.; Laan, D. & Veldhuizen, D. (2011). Endogenous entry in lowest-unique sealed-bid auctions. Theory and Decision, vol. 71, issue 2, pp. 269-295.
  • Pigolotti, S. & Bernhardsson, S.; Juul, J. & Galster, G. & Vivo, P. (2012). Equilibrium Strategy and Population-Size Effects in Lowest Unique Bid Auctions. Physical review letters. vol. 108, issue 8.

 

Zu den generellen Kernforderungen an eine schulische stochastische Grundbildung zählt u. a. die „Fähigkeit zur Interpretation und kritischen Bewertung stochastischer Informationen“ und „zur Modellierung stochastischer Phänomene, die mithilfe von Daten und/oder Wahrscheinlichkeitsmodellen“ auch in alltäglichen Kontexten beschrieben werden (Krüger et al. 2015, S. 2) mit dem Ziel, dass die Schülerinnen und Schüler im späteren Leben Entscheidungsprozesse reflektiert bewältigen (NCTM 2000, S. 48f. sowie Eichler & Vogel 2013). Ein Blick in die curricularen Vorgaben sowohl der Primar- als auch der Sekundarstufe in Deutschland verdeutlicht ebenfalls die Relevanz der oben genannten zentralen Forderungen für den modernen Stochastikunterricht (vgl. u. a. Bildungsstandards für das Fach Mathematik 2022).

Neben einigen fachwissenschaftlichen Untersuchungen existieren Anregungen oder Erfahrungen zum Einsatz des Spiels im Mathematikunterricht bislang nicht, wobei mit dem LUPI-Spiel die zuvor kurz dargestellten zentralen Forderungen an den Stochastikunterricht erfüllt werden können. Hier setzt das Kooperationsprojekt an und die grundlegenden Untersuchungsfragen lauten:

  1. Inwieweit lassen sich die drei Ansätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung (subjektivistischer, frequentistischer und theoretischer Zugang) anhand eines einfachen Spiels wie LUPI mit Zufalls- und Strategieeinflüssen gewinnbringend kombinieren?
  2. Inwieweit können die oben kurz beschriebenen zentralen Anforderungen an den Stochastikunterricht mit der Durchführung und Reflexion des LUPI-Spiels erfüllt werden?

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The general core requirements for basic stochastic education at school include the "ability to interpret and critically evaluate stochastic information" and "to model stochastic phenomena that are described with the help of data and/or probability models" in everyday contexts (Krüger et al. 2015, p. 2) with the aim of enabling pupils to reflect on decision-making processes in later life (NCTM 2000, p. 48f. and Eichler & Vogel 2013). A look at the curricular requirements at both primary and secondary level in Germany also illustrates the relevance of the above-mentioned central requirements for modern stochastics lessons (see, for example, Educational Standards for Mathematics 2022).

Apart from a few scientific studies, there are no suggestions or experiences regarding the use of the game in mathematics lessons, although the LUPI game can fulfill the central requirements for stochastics lessons briefly described above. This is where this cooperation project comes in and the basic research questions are:

  1. To what extent can the three approaches of probability theory (subjectivist, frequentist and theoretical approach) be profitably combined using a simple game such as LUPI with random and strategy influences?
  2. To what extent can the central requirements for stochastics lessons briefly described above be met by playing and reflecting on the LUPI game?

 

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  • Eichler, A. & Vogel, M. (2013). Leitidee Daten und Zufall: Von konkreten Beispielen zur Didaktik der Stochastik. Springer.
  • Krüger, K., Sill, H.-D., Sikora, C. (2015). Didaktik der Stochastik in der Sekundarstufe I. Springer.
  • NCTM – The National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principles and standards for school mathematics
  • Sekretariat der Ständigen Konferenz der Kultusminister der Länder in der Bundesrepublik Deutschland (2022). Bildungsstandards für das Fach Mathematik (ESA und MSA).